Abstand Punkt - Ebene
Gesucht ist der Abstand des Punktes R zur Ebene E.
Das Verfahren
- Konstruiere eine Gerade g senkrecht zu E, auf der R liegt.
- Verwende den Normalenvektor von E als Richtungsvektor für g und den Ortsvektor von R als Stützvektor. Dies liefert die Geradengleichung für g.
- Berechne nun den Schnittpunkt S von g mit E.
- Die Länge des Verbindungsvektors von R nach S ist dann der gesuchte Abstand von R zu E.
der Stützvektor von E und 
der Ortsvektor des Punktes R. Den Einheitsnormalenvektor
erhält man wie üblich durch 
,
also indem man den Normalenvektor durch seine Länge teilt.Sie können also das oben dargestellte Verfahren verwenden oder die Formel. Es mag vielleicht so aussehen, dass die Verwendung der Formel weniger aufwändig ist. Aber wenn die Ebene in Koordinatenform vorliegt, ist das Abarbeiten des obigen Verfahrens eventuell sogar einen "Tick" schneller. Sie können dies an den Rechenbeispielen unten nachvollziehen.
Rechenbeispiel
Bestimme den Abstand des Punktes R(3|2|1) zur Ebene E mit
.Lösung
Bilde zunächst
und setze und R
ein in die Abstandsformel:
Abstand Punkt-Ebene mit der HNF
Nun sei die Ebene E in der Hesse'schen Normalenform in Koordinatenschreibweise vorgegeben, also
.Dann kann man den Abstand eines Punktes R(a|b|c) von der Ebene E einfach durch Einsetzen der Koordinaten von R berechnen. Damit keine negativen Werte entstehen, muss man im Zähler lediglich noch den Betrag bilden. Es gilt:
Rechenbeispiel
Bestimme den Abstand zwischen E: x1-2x2+4x3=1 und R(1|6|2).
Lösung
Wandle die Ebenengleichung zunächst um in HNF. Dazu brauchen wir die Länge des Normalenvektors
.
Sie ergibt sich durch 
.Somit haben wir
.Für x1, x2 und x3 setzen wir nun die Koordinaten von R ein, bilden im Zähler den Betrag und erhalten den Abstand:
Aufgabe
Bestimme den Abstand zwischen
und dem Punkt 
.Lösung
Mit
folgt
.Somit haben wir
.R einsetzen liefert:
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